Nilai Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Assalamualaikum.Wr.Wb

Nama : Mentari Dwi Khairunnisa

No.Absen : 21

Kelas : XI IPS 2

Semester 2

MATEMATIKA 

Nilai Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun

 

 Selain untuk menentukan gradien garis singgung kurva, turunan juga dapat digunakan untuk menentukan nilai-nilai ekstrim suatu fungsi, interval fungsi naik, fungsi turun dan nilai stasioner. Secara grafik, fungsi dikatakan naik jika kurva naik, dikatakan turun jika kurva turun dan stasioner jika kurva tetap. Dengan kenyataan itu, kita bisa membuat hubungan fungsi naik, fungsi turun, nilai stasioner dengan turunan sebagai berikut:

Fungsi F(x) dikatakan naik dalam suatu interval jika F'(x) > 0 untuk setiap x anggota interval tersebut.
Fungsi F(x) dikatakan turun dalam suatu interval jika F'(x) < 0 untuk setiap x anggota interval tersebut.
Fungsi F(x) dikatakan stasioner dalam suatu interval jika F'(x) = 0 untuk setiap x anggota interval tersebut.

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

A. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda positif, atau $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).

B. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda negatif, atau $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).

C. Jika $f^{\prime }\left(x\right)$ bertanda netral, atau $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap $x$ di dalam interval $I$.

1. Jika $f^{\prime }\left(x\right)>0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu naik pada interval $I$.

2. Jika $f^{\prime }\left(x\right)<0$, maka kurva $f\left(x\right)$ akan selalu turun pada interval $I$.

3. Jika $f^{\prime }\left(x\right)=0$, maka kurva $f\left(x\right)$ stasioner (tetap/diam) pada interval $I$.

4. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah turun pada interval $I$.

5. Jika $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$, maka kurva $f\left(x\right)$ tidak pernah naik pada interval $I$.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi $f\left(x\right)$ berikut.

 

Kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$ disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f\left(x\right)$ naik saat $x<a$ atau $x>b$, sedangkan $f\left(x\right)$ turun pada saat $a<x<b$.

Contoh Soal : 

1. Diberikan fungsi $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah

Jawab : 

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$ 

2. Grafik fungsi $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$ tidak pernah naik untuk nilai-nilai

Jawab :

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$, sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $-2\le x\le 0$

3. Grafik fungsi y = 1 / (x² + 1) akan turun pada interval

Jawab :
Gunakan syaran fungsi turun F¹(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U¹ = 0
V = x² + 1 maka V¹ = 2x
Jadi y¹ = (U¹ V - U . V¹) / V²
y¹ = (0 . x² + 1 - 1 . 2x) / (x² + 1)²
y¹ = - 2x / (x² + 1)² < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0

 

Sekian penjelasan saya pada hari ini. Mohon maaf bila ada kesalahan.