Pengertian Turunan dan Sifat-Sifatnya Bersama Contoh Soalnya

Assalamualaikum.Wr.Wb

Nama : Mentari Dwi Khairunnisa 

Absen : 21

Kelas : XI IPS 2 

Pengertian Turunan dan Sifat-Sifatnya Bersama Contoh Soalnya

Pengertian 

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).

Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x. 

Rumus 

Berikut merupakan beberapa rumus dasar untuk menentukan turunan.

• f(x) = c, dengan c merupakan konstanta

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 0.

• f(x) = x

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 1.

• f(x) = axⁿ

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = anx^{n – 1}

• Penjumlahan fungsi:  h(x) = f(x) + g(x)

Turunan fungsi tersebut yaitu h’(x) = f’(x) + g’(x).

• Pengurangan fungsi: h(x) = f(x) – g(x)

Turunan fungsi tersebut adalah h’(x) = f’(x) – g’(x)

• Perkalian konstanta dengan suatu fungsi (kf)(x).

Turunan fungsi tersebut adalah k . f’(x).

Sifat - Sifatnya

Misalkan n bilangan rasional, c bilangan konstanta, u(x) dan v(x) fungsi - fungsi diferensiabel dengan turunannya masing-masing u'(x) dan v'(x). Jika f'(x) turunan dari f(x), maka berlaku sifat-sifat :

1. f(x) = c u(x), turunannya f''(x) = c u'(x)
2. f(x) = u(x) + v(x), turunannya f''(x) = u'(x) + v'(x)
3. f(x) = u(x) . v(x), turunannya f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
4. f(x) = u(x)/v(x) ; v(x) ≠ 0, turunannya f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/(v(x))²
5. f(x) = u(x)ⁿ, turunannya f'(x) = n(u(x))^n-1 u'(x)

Contoh

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

f(x) = (3x + 2) . (2x² – 1)

Jawab :  

Misal: u(x) = 3x + 2 dan v(x) = 2x² – 1

f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)

f’(x) = 3 . (2x² – 1) + (3x + 2) . (4x)

f’(x) = 6x² – 3 + 12x² + 8x = 18x² + 8x – 3

2. Jika terdapat f(x) = (2x-1)²(x+2). Berapakah nilai f’x(2)

Jawab :

menggunakan sifat turunan fungsi f’(x) = u’v + v’u untuk mendapatkan hasil akhir. Sehingga kita dapat melakukan pemisalan kembali.

F’(x) = u’v + uv’

U= (2x-1)² = 4x² – 4x + 1 ; U’ = 8x – 4

V = x + 2 ; V’ = 1

F’(x) = u’v + uv’

F’(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x² – 4x + 1)(1) ; kita dapat memasukkan nilai 2 seperti di soal

F’(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)² – 4(2) + 1)(1))

F’(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))

F’(2) = 96 + 9 = 105

Sehingga nilai akhir F’(2) adalah 105

3. Terdapat sebuah box tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi memiliki luas sebesar 512 cm². Berapakah panjang rusuk agar volumenya memiliki nilai maksimum

Jawab : 

Pada soal tersebut, dijelaskan bahwa box tidak memiliki tutup. Sehingga, box tersebut terdiri dari 4 sisi dan 1 alas. Anggap sisi alas adalah s dan tinggi sisi adalah t. Kita dapat menuliskan persamaan box seperti di bawah ini.

512 = luas alas + 4 sisi box

512 = s.s + 4.s.t
512 = s² + 4st
512 – s² = 4st

Setelah mendapatkan t, kita bisa mencari volume dari box tersebut

V = s³ = s² . t

Untuk mendapatkan volume maksimum, kita dapat menurunkan persamaan volume di atas

V’(s) = 0

S² = 170,67 cm²

S = 13,07 cm

Sehingga, panjang s yang dibutuhkan agar volumenya maksimum adalah 13,07 cm.