Assalamualaikum.Wr.Wb. Nama saya Mentari Dwi Khairunnisa, Absen 21 dari Kelas XI IPS 2.
PAS MATEMATIKA
1. 1. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan jadi nyaman
1. 2. Jika Pn = 1 + 3 + 5 +…+ 2n - 1 = n² (Terbukti)
n bernilai benar bilangan asli
Untuk n = 1, maka
n = 1
2n – 1 = n²
2(1) – 1 = (1)²
2 – 1 = 1
1 = 1 (Terbukti)
Untuk n = y, maka
1 + 3 + 5 +…+ 2n - 1 = n²
1 + 3 + 5 +…+ 2k - 1 = k²
Untuk n = k + 1, maka
1 + 3 +…+ 2k – 1 + 2k + 1 = (k + 1)²
k² + 2k + 1 = (k + 1)²
(k + 1)² = (k + 1)²
(Terbukti)
3.
4.
5. Basis Induksi :
P(n) = a²ⁿ¯¹ + b²ⁿ¯¹ hasil dibagi oleh a+b
Untuk n = 1
P(1) = a¹ + b¹ = a + b habis dibagi oleh a + b merupakan pernyataan yang benar
Langkah Induksi :
Misal P(k) = a²ᴷ¯¹ + b²ᴷ¯¹ habis dibagi oleh a+b merupakan pernyataan yang benar. Harus ditunjukkan apakah P(k+1) juga merupakan pernyataan yang benar.
P(k+1) = a²ᴷ⁺¹ + b²ᴷ⁺¹ habis dibagi oleh a+b
Perhatikan bahwa :
a²ᴷ⁺¹ + b²ᴷ⁺¹ = a²ᴷ¯¹ · a² + b²ᴷ¯¹·b²
(a²ᴷ¯¹ + b²ᴷ¯¹ )(a²) - b²ᴷ¯¹ (a² - b²)
(a²ᴷ¯¹ + b²ᴷ¯¹ )(a²) - b²ᴷ¯¹(a+b)(a+b)
Kedua suku tersebut habis dibagi a+b. Akibatnya P(k+1) habis dibagi a+b. Jadi P(k) mengimplikasikan P(k+1). Menurut prinsip induksi Matematis, P(n) terbukti benar
6. n = 1 = 5²·¹ + 3 x 1 -1 = 27= 5² + 3 – 1 = 27 (Benar)
n = k = 5²ᴷ + 3k -1 = 9m, mϵN
n = k + 1 = 5²⁽ᴷ⁺¹⁾ + 3 (k + 1) – 1
= 5²ᴷ·5² + 3k + 3 – 1
= 25·5²ᴷ + 3k – 1 + 3
= 24·5²ᴷ + 5²ᴷ + 3k – 1 + 3
= 5²ᴷ + 3k – 1 + 3 + 24 · 5²ᴷ
= 9m + 3 + 24·5²ᴷ
Akan terbukti benar jika 3 + 24·5²ᴷ habis dibagi 9
7. Penjelasan dengan langkah-langkah:n ≥ 5 = {1,2,3,4,5}
2n – 3 < 2n - 2
= 2(1) – 3 < 2(1) - 2
= (-1) < 0 (Benar)
2(2) - 3 < 2(2) - 2
= 1 < 2 (Benar)
2(3) – 3 < 2(3) - 2
= 3 < 4 (Benar)
2(4) – 3 < 2(4) - 2
= 5 < 6 (Benar)
2(5) – 3 < 2(5) - 2
= 7 < 8 (Benar)
8. 2x – 3y = -13 ··· ①
x + 2y = 4 ··· ②
② x 2 2x + 4y = 8 ··· ③
③ - ①
2x + 4y = 8
2x – 3y = -13
___________ -
7y = 21
Y = 3
Substitusikan y = 3 ke ① 2x – 3y = -13
2x – 3 x 3 = -13
2x – 9 = -13
2x = -13 + 9
X = -2
Jadi x = -2 dan y = 3
9. Dik : 5 kg gula + 30 kg beras = Rp 410.000
2 kg gula + 60 kg beras = Rp 740.000
Dit : 2 kg gula + 5 kg beras ?
Jawab :
Gula = x
Beras = y
5x + 30y = Rp 410.000 |2 (Dikalikan 2)
2x + 60y = Rp 740.000 |1 (Dikalikan 1)
10x + 60y = Rp 820.000 ··· ①
2x + 60y = Rp 740.000 ··· ②
_________________-
8x = Rp 80.000
x = Rp 10.000
Subtitusikan x nya ke persamaan ②
2x + 60y = Rp 740.000
2(Rp 10.000) + 60y = Rp 740.000
Rp 20.000 + 60y = Rp 740.000
60y = Rp 720.000
y = Rp 12.000
jadi, harga 1 kg gula = Rp 10.000 dan 1 kg beras = Rp 12.000, maka 2 kg gula dan 5 kg beras
= 2(Rp 10.000) + 5(Rp 12.000)
= Rp 20.000 + Rp 60.000
=
Rp 80.000
10. 5x + 3y ≤ 15 uji 0
x = 0 | x = 0 5(0) + 3(0) ≤ 15
y = 5 | y = 3 0 ≤ 15 (benar)
11. 2x - 5y > 20
Cara penyelesaian :
a. Mencari x dan y
x 0 10
y -4 0
b. Menentukan dan letak daerah kotor
2(0) - 5(0) > 20
0 > 20 (Salah)
c. Membuat garis koordinat
12. 5x + 6y ≥ 30 (0,5) (6,0) (Karena a positif dan tanda ≥ maka daerahnya berada di kanan garis)
2x + y ≤ 0 (0,0) (0,0) (Karena a negatif dan tanda ≤ maka daerahnya berada di kanan garis Y ≥ 2) (Daerah berada pada rentang y ≥ 2, y ϵ r)
Maka daerah penyelesaian dari model mtk tsb berada di daerah III
13. Daerah yang diarsir pada gambar adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Penyelesaian Soal :
LANGKAH PERTAMA (I)
Buatlah sistem pertidaksamaan pada setiap garis dengan menggunakan cara sebagai berikut :
Persamaan garis I melalui titik (0,6) dan (10,0) sehingga
ax + by = ab
6x + 10y = 6.10
6x + 10y = 60 .... (Dibagi 2)
3x + 5y = 30
Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke bawah atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0) pernyataan dikatakan benar :
3x + 5y = 30
3.0 + 5.0 = 30
0 + 0 = 30
0 ≤ 30 (Benar)
Pertidaksamaannya : 3x + 5y ≤ 30
Persamaan garis II melalui titik (0,-4) dan (2,0) sehingga :
ax + by = ab
-4x + 2y = (-4).2
-4x + 2y = -8 .... (÷ 2)
-2x + y = -4
Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke sisi kiri atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0) pernyataan dikatakan benar :
-2x + y = -4
(-2).0 + 0 = -4
0 + 0 = -4
0 ≥ -4 (Benar)
Pertidaksamaannya :
-2x + y ≥ -4 .... (× -1)
2x - y ≤ 4
Kemudian pada arsiran juga terdapat garis x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Sehingga pertidaksamaannya adalah :
3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.
14. Nilai Maksimum 3x + 2y ?
x + y > 5
sumbu x ; y = 0 ( 5, 0)
sumbu y ; x = 0 ( 0, 5)
maka Nilai Maksimumnya adalah
3x + 2y
( 5, 0) = 3(5) + 2(0) = 15
(0, 5) = 3(0) + 2(5) = 10
Nilai maksimum nya adalah 15
15. Dik : X = Banyaknya sedanY = Banyaknya truk
Luas Parkiran : Sedan= 15
Truk = 15
Kapasitas 420
Kuantitas : Sedan= 1
Truk = 1
Kapasitas 60
Jawab:
•Persamaan garis 1 : 5x + 15y = 4200
Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh
5x + 15y = 4200 disederhanakan menjadi
5x + 15y ≤ 4200
•Persamaan garis 2 : x + y = 60
Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh
x + y = 60 disederhanakan menjadi
x + y ≤ 60
•Kendala non negative diberikan oleh X ≥ 0, y ≥ 0
•Jadi model matematika nya
5x + 15y ≤ 4200; 4x + y ≤ 60 ; x ≥ 0, y ≥ 0
Jawaban: 5x + 15y ≤ 4200; 4x + y ≤ 60 ; x ≥ 0, y ≥ 0
16. Dik :
- Model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.
- Model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.
- Persediaan kain polos 20 m
- Persediaan kain bergaris 20 m
- Harga jual model I Rp 150.000
- Harga jual model II Rp 100.000
Dit : Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh
Jawab :
(1) Kita Buat Tabel Untuk memudahkan:
(2) Kita buat kalimat matematika dari Tabel diatas Dengan kain polos sebagai (x) dan kain bergaris sebagai (y) :
x + 2y ≤ 20
3x + y ≤ 20
dengan :
x ≥ 0
y ≥ 0
Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :
150.000x + 100.000y
(3) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :
Dari x + 2y = 20 :
x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20
⇒ 2y = 20
⇒ y = 20/2
⇒ y = 10
Titik Koordinat ⇒ (0,10)
y = 0, x ⇒ x + 2y = 20
⇒ x + 0 = 20
⇒ x = 20
Titik Koordinat ⇒(20,0)
Dari 3x + y = 20
x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20
⇒ 0 + y = 20
Titik Koordinat ⇒ (0,20)
y = 0, x ⇒ 3x + y = 20
⇒ 3x + 0 = 20
⇒ 3x = 20
⇒ x = 20/3
Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)
Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.
Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :
Eliminasi y :
x + 2y = 20 | x 1 (Dikalikan 1)
3x + y = 20 | x 2 (Dikalikan 2)
x + 2y = 20
6x + 2y = 40
___________-
-5x = -20
x = -20/-5
x = 4
Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20
3 . 4 + y = 20
12 + y = 20
y = 20 – 12
y = 8
Koordinat titik potong garis pada (4,8)
(4) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :
Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :
Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)
A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10)
= 0 + 1.000.000
= Rp 1.000.000
B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8)
= 600.000 + 800.000
= Rp 1.400.000
C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0)
= 1.000.000 + 0
= Rp 1.000.000
Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00
17.
Det A = [A] = ad – bc
[A] = (-2 · 1) – (4 · 3)
[A] = -2 - 12
[A] = -14
Det B = [B] = ad -bc
[B] = (5 · 2) – (3 · 1)
[B] = 10 – 3
[B] = 7
Matriks C = A · B
= -14 · 7
= -98
18. At adalah transpose dari A. Jika:
maka determinan dari matriks AtB adalah
Pembahasan :
Det(AtB) = (10.34) – (12.12) = 340 – 144 = 196
19. Dik :
Matriks A tidak mempunyai invers
Dit : X =
Jawab
Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol
|A| = 0
(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0
10x + 5 – 18x + 3 = 0
8 – 8x = 0
8 = 8x
x = 8/8
x = 1
20.
3 + x – (-3) = 8
6 + x = 8
x = 2
y + 5 – (-1) = 5x
y + 6 = 5 x 2
y + 6 = 10
y = 4
x + 2xy + y
2 + 2 (2)(4) + 4
2 + 16 + 4
= 22
21.
22.
Sehingga, kita mendapatkan matriks-matriks produksi S dan M sebagai berikut.
Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.
Dari
penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian
yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua
elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya
pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.
23. pensil (x) dan penghapus (y)
Maka:
5x + 3y = 11.500 | x2 | 10x + 6y = 23000
4x + 2y = 9000 | x3 | 12x + 6y = 27000
——————-—-
-2x = -4000
x = 2000
5x + 3y = 11500
5(2000) + 3y = 11500
10000+ 3y = 11500
3y = 1500
y = 500
6(2000) + 5(500)
12000 + 2500
=14.500
24. Banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya adalah,
Matriks harga makanan adalah,
Jadi,
pemasukan harian yang diterima Bu Ani dari setiap kantin A, kantin B,
dan kantin C berturut-turut adalah Rp 55.000,00; Rp 93.000,00; dan Rp
100.000,00.
Total pemasukan harian Bu Ani dari seluruh kantin adalah Rp 55.000,00 + Rp 93.000,00 + Rp 100.000,00 = Rp 248.000,00
25.
x + y = 16
3x + 4y = 55
Jika ditulis dalam bentuk matriks:
Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.
1. Translasi (pergeseran)
Translasi adalah perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu.
2. Refleksi (pencerminan)
3. Rotasi (perputaran)
Rotasi atau perputaran adalah sebuah perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu.
4. Dilatasi (perbesaran)
Refleksi merupakan salah satu bagian dari transformasi geometri, dimana benda yang kita refleksikan akan berlawanan arah dengan benda aslinya.
Pencerminan terhadap sumbu x
A(a, b) → sb x → A'(a, -b)
Pencerminan terhadap sumbu y
A(a, b) → sb y → A'(-a, b)
Pencerminan terhadap garis y = x
A(a, b) → gr y = x → A'(b, a)
Pencerminan terhadap garis y = -x
A(a, b) → gr y = -x → A'(-b, -a)
Pencermianan terhadap titik pangkal koordinat
A(a, b) → titik pangkal → A'(-a, -b)
Pencerminan terhadap garis x = h
A(a, b) → garis x = h → A' (2h - a, b)
Pencerminan terhadap garis y = k
A(a, b) → garis y = k → A'(a, 2k - b)
Penyelesaian Soal
Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x
Pencerminan terhadap garis y = -x
A(a, b) → gr y = -x → A'(-b, -a)
A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)
27. (x, y) dicerminkan thp sumbu x : (x, -y) kemudian
Jadi
-x = x' => x = -x'
-y = y' => y = -y'
Bayangan dari : y = 3x² + 2x - 1 adalah
(-y') = 3(-x')² + 2(-x') - 1
-y' = 3x'² - 2x' - 1
y = -3x² + 2x + 1
Menghasilkan komposisi transformasi:
Memberikan:
Yang mana:
x = -x'
y = y'
Substitusi ke persamaan yang akan menghasilkan:
Step-1 pencerminan garis x = k
Untuk x = 2
(x' , y') = (2(2) - x, y)
(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2
Step-2 translasi (- 3, 4)
Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.
(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)
(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)
(x", y") = (1 - x, y + 4)
Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4
Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi
Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4
⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4
Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan
⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4
⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4
⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0
Kesimpulan
Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran
30. A(3,-2)
dipetakan oleh T(1 -2)x' = x + 1 = 3 + 1 = 4
y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4
Bayangan A = A' = (4,-4)
lanjut rotasi [O , 90°]
x" = -y' = -(-4) = 4
y" = x' = 4
Bayangan akhir = A" = (4,4)
Komentar
Posting Komentar