Soal PTS dan Pembahasan Kelas 11 IPS Semester Ganjil

 Remedial PTS Kelas XI IPS Semester Ganjil

Mentari Dwi Khairunnisa  (20) XI IPS 2

Question 1

1. Diketahui premis-premis berikut : 

Premis 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih 

Premis 2 : Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman 

Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah 

Jawab :Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa Pn : 1+3+5+...+(2n-1) = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli

Jawab : 

Langkah 1
Akan dibuktikan untuk n = 1 Benar
(2n – 1) = n²
2(1) – 1 = 1²
2 – 1 = 1
1 = 1 (benar) 

Langkah 2
Misal untuk n = k benar
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) = k²
Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar
1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²
k² + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²
k² + 2k + 2 – 1 = (k + 1)²
k² + 2k + 1 = (k + 1)²
(k + 1)² = (k + 1)² (Benar)   
Jadi terbukti bahwa 1+3+5+...+(2n-1)=n² 

3.Tunjukkan bahwa dalam barisan geometri berlaku Sn = a (r^n -1)^r-1, r > 1, n ≥ 1, n ϵ N dengan r adalah rasio barisan 

Jawab :  

4. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

  untuk n ϵ N

Jawab : 

5. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, a^2n-1 + b^2n-1 habis dibagi oleh a+b dengan menggunakan induksi matematika 

Jawab : Basis induksi
P(n) = a^2n-1 + b^2n-1 habis dibagi oleh a+b
Untuk n=1
P(1) = a¹+ b¹ = a+b habis dibagi oleh a+b merupakan pernyataan yang benar

Langkah induksi
Misal P(k) = a^2k-1 + b^2k-1 habis dibagi oleh a+b merupakan pernyataan yang benar. Harus ditunjukkan apakah P(k+1) juga merupakan pernyataan yang benar
P(k+1) = a^2k+1 + b^2k+1 habis dibagi oleh a+b
Perhatikan bahwa :
 a^2k+1 + b^2k+1
= a^2k-1 x a²+b^2k-1 x b²
= (a^2k-1 + b^2k-1) (a²) -  b^2k-1 (a² - b²)
= (a^2k-1 + b^2k-1) (a²) -  b^2k-1 (a+b)(a-b)
Kedua suku tersebut habis dibagi a+b. Akibatnya, P(k+1) habis dibagi a+b. Jadi, P(K) mengimplikasikan P(k+1). Menurut prinsip induksi matematis, P(n) terbukti benar

6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 5²ˣ + 3x -1 habis dibagi 9 untuk setap x anggota bilangan asli

Jawab : Buktikan kebenaran untuk n = 1
5² + 3-1 = 27 -> Benar
Asumsikan benar untuk n = k

  -> 9m menunjukkan bahwa 5^2k+3n-1 merupakan kelipatan 9)
Cek kebenaran untuk n = k+1 

 

Akan terbukti benar jika habis dibagi 9. Bisa buktikan itu dengan induksi lagi buktikan bahwa habis dibagi 9

Cek kebenaran untuk n=1
3 + 24 x 5²  = 603 -> Benar
Asumsikan benar untuk n = k

 

Cek kebenaran untuk n = k+1

 

Terbukti bahwa habis dibagi 9 benar. Maka pernyataan awal tadi juga benar 

7. Buktikan untuk masing-masing bilangan asli n ≥ 5 akan berlaku 2n - 3 < 2^n-2

Jawab : n ≥ 5

2n-3<2n-2

=2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0 (benar)

2(2) -3<2(2) -2

=1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2

=3<4 (benar)

2(4) -3<2(4) -2

=5<6 (benar)

2(5) -3<2(5) -2

=7<8 (benar) 

8. Penyelesaian dari sistem persamaan 2x-3y = -13 dan x+2y = 4 adalah

Jawab : Persamaan x+2y = 4 dikalikan dengan 2, maka menjadi
2x+4y = 8  -------> (persamaan 1)
2x-3y = -13 ------> (persamaan 2)
--------------- - 
     7y = 21
y = 21/7
y = 3

nilai y = 3 kita masukkan kdlam salah satu persamaan di atas, misalkan pada
persamaan x+2y = 4,
x+2 x 3 = 4
x+6 = 4
x = 4-6
x = -2
Jadi penyelesainnya adlh x = -2 dan y = 3 

9. Harga 5 kg gula pasir dan 30 kg beras adalah Rp 410.000,00, sedangkan harga 2 kg gula pasir dan 60 kg beras adalah Rp 740.000,00. Harga 2 kg gula pasir dan 5 kg beras adalah

Jawab : Gula pasir = x

Beras = y
5x + 30y = 410.000 |2 (dikali 2)
2x + 60y = 740.000 |1 (dikali 1)

10x + 60y = 820.000
2x + 60y = 740.000 
_________________-

8x = 80.000
x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan
 2x + 60y = 740.000
2(10.000) + 60y = 740.000
20.000 + 60y = 740.000
60y = 720.000
y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000
maka 2 kg gula pasir dan 5kg beras
= 2(10.000) + 5(12.000)
= 20.000 + 60.000
= Rp 80.000

10. Tentukan daerah bersih dari pertidaksamaan linear berikut 5x + 3y ≤ 15

Jawab : 5x + 3y ≤ 15 => Diarsir kebawah karena ≤

Jika x = 0 maka y = 5 => (0,5)

Jika y = 0 maka x = 3 => (3,0)

Kemudian perpanjang dari arsir kebawah maka diperoleh grafik 5x + 3y ≤ 15

11. Tentukan daerah kotordari pertidaksamaan linear berikut 2x - 5y > 20

 Jawab : 2x - 5y > 20

Jika x = 0 maka y = -4 => (0,-4)

Jika y = 0 maka x = 10 => (10,0)

Question 2 

12. Perhatikan gambar berikut 

 

Daerah penyelesaian pertidaksamaan 5x + 6y ≥ 30; -2x + y ≤ 0 ; y ≥ 2 ditunjukan oleh daerah

Jawab : 

 

Ditunjukkan oleh daerah III

13. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

 

Jawab : Persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0)
ax + by = a x b  
6x + 10y = 60
3x + 5y = 30
Karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 5y ≤ 30 ... (1)
Persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0)
ax + by = a x b  
-4x + 2y = -8
-2x + y = -4
Karena daerah arsiran di sebelah kiri persamaan garisnya -2x + y ≥ -4 atau -2x + y ≤ -4 ... (2) ingat untuk a<0 dan b>0
Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x ≥ 0 dan y ≥ 0 ... (3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah :
(1), (2), (3), dan (4)
3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ -4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0

14. Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi x + y ≤ 5 , x ≥ 0 , y ≥ 0, dan x , y ∈ R.

Jawab : 

 

Nilai maksimum dicapai pada titik (5,0) yaitu: 3 . 5 + 2 . 0 = 15 

Question 3

15.  Luas sebuah tempat parkir adalah 420 m2. Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah 5 m2 dan luas rata-rata sebuah truk 15 m2. Tempat parkir tersebur sapat menampung tidak lebih dari 60 kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah sedan Rp 3.000,00 dan untuk sebuah truk Rp 5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir x buah dan banyak truk y buah, model matematika dari masalah tersebut adalah 

Jawab : x + 3y < 84 ; x+y < 60 ; x > 0 ; y > 0

16. Seorang penjahit memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m kain bergaris untuk membuat 2 jenis pakaian. pakaian model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong,dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong.penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah

Jawab :

 

Misal kain polos sebagai (x) dan kain bergaris sebagai (y) :

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

            ⇒       2y = 20

            ⇒          y = 20/2

            ⇒          y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

            ⇒ x  + 0  = 20

            ⇒         x  = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

             ⇒ 0   + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

            ⇒ 3x + 0 = 20

            ⇒ 3x        = 20

            ⇒   x        = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20  | x 1  |   x + 2y = 20

3x + y = 20  | x 2 | 6x + 2y = 40

                            ============  -

                             -5x          = -20

                                x           = 20/5

                                x           = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

       y = 20 - 12

       y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

 Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

                      = 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

                      = 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

                        = 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

 17. Diketahui matriks-matriks . Jika matriks C =A x B maka determinan matriks C adalah 

Jawab : Rumus determinan matriks berordo 2x2

 

A = ad - bc

A= (-2x1) - (4x3)

A = -2 - 12

A = -14 

 

B = ad - bc

B= (5x2) - (3x1)

B = 10 -3

B = 7

Jadi C = A x B

C = -14 x 7

C = -98

18. Matriks A⸆ adalah transpose matriks A. Jika matriks

maka determinan dari matriks A⸆.B adalah

Jawab : 

 

Determinan  A⸆.B adalah 196 

19. Jika matriks tidak mempunyai invers, maka nilai x adalah 

Jawab :

Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol

Jadi

|A| = 0

(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0

10x + 5 – 18x + 3 = 0

8 – 8x = 0

8 = 8x

x =

x = 1 

20. Diketahui matriks

Jika A + B – C = maka nilai x +2xy + y adalah

Jawab : 

3 + x + 3 = 8  

6 + x = 8

x = 8 -6

x = 2

5 - 3 - y = -x

5 - 3 - y = -2

2 - y = -2

-y = -2 -2

y = 4

Jadi  

x +2xy + y

2 + 2 (2)(4) + 4

2 + 16 + 4

= 22

Question 4 

21. Dua garis dalam persamaan matriks : saling tegak lurus maka a : b

Jawab :

  

22. Suatu perusahaan pakaian, JCloth, memiliki dua pabrik yang terletak di Surabaya dan Malang. Di dua pabrik tersebut, JCloth memproduksi dua jenis pakaian, yaitu kaos dan jaket. Perusahaan tersebut memproduksi pakaian yang kualitasnya dapat dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu standard, deluxe, dan premium. Tahun kemarin, pabrik di Surabaya dapat memproduksi kaos sebanyak 3.820 kualitas standard, 2.460 kualitas deluxe, dan 1.540 kualitas premium, serta jaket sebanyak 1.960 kualitas standard, 1.240 kualitas deluxe, dan 920 kualitas premium. Sedangkan pabrik yang terletak di Malang dapat memproduksi kaos sebanyak 4.220 kualitas standard, 2.960 kualitas deluxe, dan 1.640 kualitas premium, serta jaket sebanyak 2.960 kualitas standard, 3.240 kualitas deluxe, dan 820 kualitas premium dalam periode yang sama. Berapa total banyak pakaian yang diproduksi olej JCloth (di kedua pabrik) pada tahun depan, untuk setiap jenis pakaian

Jawab :

23. Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan susi membeli 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, arman membayar Rp. 11.500 sedangkan susi membayar RP. 9.000. Jika dodi membeli 6 pensil dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar (dengan cara determinan dan invers matriks)

Jawab :
x = pensil
y = penghapus

5x + 3 y = 11.500 (x2)
4x + 2 y = 9.000 (x3)
_______________
10x + 6 y = 23.000
12x + 6y = 27.000
_______________ (-)
-2x = -4.000
x = 2.000

4x + 2y = 9.000
4 x 2000 + 2y = 9000
2y = 1000
y = 500

jadi harga pensil = 2000 dan penghapus = 500
sehingga dodi harus membayar 6 x 2000 + 5 x 500 = 12.000 + 2.500 = Rp 14.500

24. Bu Ani seorang pengusaha makanan kecil yang menyetorkan dagangannya ke tiap kantin table banyak makan yang disetornya setiap hari seperti berikut (dalam satuan bungkus). Harga sebungkus kacang, keripik, dan permen berturut-turut adalah Rp 2.000, Rp 3.000, Rp 1.000. Hitunglah pemasukan harian Bu Ani dari setiap kantin serta total pemasukkan harian dengan penyajian bentuk matriks

Jawab : Pemasukkan harian bu Ani dari setiap kantin serta total pemasukkan harian adalah
Perkalian matriks A dan matriks B

Kantin A: Rp 55.000,00
Kantin B: Rp 93.000,00
Kantin C: Rp 100.000,00 

25. Lisa dan Muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapar menyelesaikan 3 buah setiap jam dan muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja lisa dan muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, tentukan jam kerja mereka masing-masing. (Buat penyelesaiannya dengan determinan matriks dan invers matriks)

Jawab :

 

Jam kerja mereka masing-masing
Lisa : 9 jam
Muri : 7 jam