Langsung ke konten utama

PEMBUKTIAN : Langsung, Tak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika


Assalamualikum.Wr.Wb. Saya Mentari Dwi Khairunnisa, dari kelas XI IPS 2. Jadi hari ini saya akan membahas tentang PEMBUKTIAN : Langsung, Tak Langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika.

PEMBUKTIAN LANGSUNG
Pembutian Langsung adalah Suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan.
Contoh :
Buktikan bahwa a + b bilangan ganjil jika dan hanya jika a atau b bilangan ganjil dengan a dan b bilangan bulat.
Bukti :
Jika a atau b bilangan ganjil maka a + b bilangan ganjil
->  Misal a dan b bilangan bulat sebarang dan a bilangan ganjil (a := 2m + 1 untuk suatu m € Z) dan b bilangan genap (b := 2n untuk suatu n € Z ). Sehingga a + b = 2m + 1 + 2n = 2(m + n) + 1
karena tertutup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat, ambil p := m + n, sehingga
a + b = 2p + 1 untuk suatu p € Z
jadi a + b bilangan ganjil

PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG
Pembuktian Tak Langsung adalah strategi yang sangat hebat karena penalaran tersebut dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran hampir semua pernyataan.
Contoh :
Buktikan ​√​2 bukan bilangan rasional
Bukti :
Misalkan​ √​2 adalah bilangan rasional. Perhatikan bahwa yang akan dibuktikan adalah​ √​2 bukan bilangan rasional namun pemisalannya adalah​ √​2 adalah bilangan rasional. Sebagai akibatnya, berdasar definisi dapat disimpulkan bahwa √​2=p/q​. Sebagai akibatnya baik p maupun q merupakan bilangan asli dan keduanya tidak memiliki faktor persekutuan selain
1.Dengan mengkuadratkan √​2=p/q sebagai Langkah yang valid, akan didapat :2=​⇒p​²=2q​²​.Karena 2q​² adalah bilangan genap, maka p​² nya juga genap. Karena p telah dinyatakan sebagai bilangan asli maka didapat p sebagai bilangan asli genap. Dengan demikian, p memiliki faktor 2. Jika sekarang dimisalkan p = 2r ​⇒​ (2r)​² = 2q​²​​⇒​ 4r​²​ = 2q​²​​⇒​ q​²​ = 2p​² Dengan argument yang sama dengan yang diatas tadi dapatlah disimpulkan bahwa q adalah bilangan asli genap, yang memiliki faktor 2 juga seperti p. Suatu keadaan yang tidak masuk di akal sehat kita. Suatu keadaan yang kontradiktif. P dan q pada tahap awal pembuktian dinyatakan tidak memiliki faktor persekutuan selain 1, namun pada akhir pembuktian p dan q dinyatakan sama-sama memiliki faktor persekutuan
2. Keadaan yang tidak masuk akal ini pada akhirnya menunjukkan tentang salahnya pemisalan ​√​2 sebagai bilangan rasional. Kesimpulannya​ √​2 bukan bilangan rasional atau ​√​2 merupakan bilangan irrasional. Dengan contoh diatas, jelaslah kiranya bahwa pembuktian tak langsung (terbalik) adalah pembuktian dengan pemisalan ingkaran pernyataan yang akan dibuktikan tadi sebagai hal yang benar, namun dengan langkah-Langkah yang logis, pemisalan ini mengarah kesuatu keadaan yang kontradiktif, sehingga pemisalan tersebut dinyatakan sebagai hal yang salah. Artinya negasi dari negasi pernyataan tersebut sebagai hal yang benar. Kesimpulan akhirnya, pernyataan yang akan dibuktikan tersebut merupakan pernyataan yang benar.

KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan dari premis-premisnya. Jadi, kontradiksi berlawanan dengan tautologi. Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika
Contoh :
Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah
“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap maka 7n + 9 bilangan ganjil”
Pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka dengan kontradiksi, misalnya pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil) maka 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar, akan muncul suatu kontradiksi
                                                                                                      
INDUKSI MATEMATIKA
Induksi Matematika adalah pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli. Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :
  1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
  2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
  3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
Contoh :
1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)
  • Langkah 1
untuk n = 1, maka :
1 = \frac{1}{2}n(n + 1) 
1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1) 
1 = 1







Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.
  • Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka:
1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)
  • Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)
Pembuktiannya:
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1) 
(dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1)
= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)]   . (k + 1) dimodifikasi menyerupai  \frac{1}{2} k (k + 1)
= \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)]  (penyederhanaan)
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2)  (terbukti)

 Sekian pejelasan saya hari ini, mohon maaf bila ada salah kata atau penulisan

Daftar Pustaka :
Sumber : 
- https://aimprof08.wordpress.com/2012/11/14/pembuktian-langsung/
- http://p4tkmatematika.org/file/ARTIKEL/Artikel%20Matematika/20142PembuktianTakLangsungEdit_valYL.pdf
- https://id.wikipedia.org/wiki/Kontradiksi
- https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika
- https://id.wikipedia.org/wiki/Induksi_matematika
- https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Matrik, Macam-Macam Matrik dan Operasi Matrik

  Assalamualaikum.Wr.Wb. Kembali lagi Bersama saya Mentari Dwi Khairunnisa, absen 20, dari kelas XI IPS 2. Hari ini saya akan membahas tentang Pengertian Matriks, Macam-macam Matriks, Operasi Matriks dan Contoh soalnya   Pengertian Matriks Matriks adalah susunan angka atau objek matematika lainnya yang disusun dalam bentuk baris dan kolom, dimana operasi seperti penjumlahan dan perkalian dapat didefinisikan. Umumnya, matriks di atas medan F {\displaystyle F berisi elemen-elemen dari F {\displaystyle F}   F. Macam-macam Matriks 1.      Matriks Bujur Sangkar: apabila ukuran baris dan kolom sama atau m = n 2.      Matriks Diagonal: merupakan matriks bujur sangkar yang a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} , untuk i ≠ j 3.      Matriks Skalar: merupakan matriks diagonal yang memiliki unsur diagonal utamanya sama, misalnya k 4.      Matriks identitas: merupakan matriks skalar di ma...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Transformasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi Dengan Matriks.

  Assalamualaikum.Wr.Wb. Saya Mentari Dwi Khairunnisa, Absen 20, Kelas XI IPS 2. Hari ini saya akan membahas tentang Transformasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi Dengan Matriks. Translasi Suatu titik (3, 4) ditranslasikan dengan translasi (2, -1). Tentukan bayangan hasil translasi tersebut. Jawab :       Refleksi Pada bidang kartesius, terdapat suatu titik yang terletak pada koordinat (2, -1). Tentukan hasil pencerminannya jika titik tersebut dicerminakn terhadap titik O (0,0), terhadap sumbu – x, terhadap sumbu-y, terhadap garis y = x, dan terhadap garis y = -x. Jawab :       Rotasi Terdapat suatu titik (3, 0) dalam bidang kartesius. Jika titik tersebut dirotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut rotasi 60 o , maka bayangan hasil rotasinya adalah Jawab :        Dilatasi Jika titik (-1, 3) didilatasi dengan faktor dilatasi 2 dan pusat dilatasi (2, 0), maka bayangan hasil dilatasinya adalah Jawab : ...
Posting Komentar
Baca selengkapnya