Assalamualaikum. Wr. Wb.
Saya Mentari Dwi K. Hari ini saya akan membuat penjelasan dan contoh soal tentang Logika Matematika.
Penjelasan
Logika Matematika adalah gabungan dari ilmu matematika dan ilmu logika, Logika berasal dari kata Logos yang artinya hasil nalar tang diutarakan dalam kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika Matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Tahap logika antara lain adalah Pernyataan, Negasi, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi, Dua Pernyataan yang Ekuivalen, Kalimat Berkuantor, Serta Penarikan Kesimpulan.
Penjelasan dan Contoh Soal
PERNYATAAN : Kalimat yang memiliki nilai kebenaran hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak bisa sekaligus benar dan salah, biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti : a, b, c, dll.
Contoh :
a: 2 adalah bilangan genap ( Bernilai Benar )
b. 4 habis dibagi 3 ( Bernilai Salah )
Pernyataan benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B ( Benar )
Pernyataan salah dikatakan mempunai nilai kebenaran S ( Salah )
Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan Ï„ (Tao)
Contoh :
a : 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar
Ï„(a)=B
p : 5 lebih keci dari 4, merupakan pernyataan yang salah
Ï„(p)=S
NEGASI : Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p bernilai benar, maka ~ p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~ p bernilai benar. Negasi di lambangkan dengan (~).
Rumus :
Contoh :
1. Ani datang dan semua orang senang
Negasi : Ani tidak datang atau ada orang yang tidak senang
2. Jika Ela datang maka semua orang senang
Negasi : Ela datang dan ada orang yang tidak senang
3. Semua orang tertawa
Negasi : Ada orang yang tidak tertawa
4. Semua orang tidak tertawa
Negasi : Ada orang yang tertawa
5. Ada udang dibalik batu
Negasi : Semua udang tidak di balik batu
DISJUNGSI : Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”. Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Rumus beserta contoh :
Patokan nya adalah Salah dengan Salah = Salah Atau bisa di tulis S S=S
Contoh pada kolom baris ke 3
~ p bisa di sebut negasi p
cara mencari ~ p nya adalah lawan dari B = S ( lihat di kolom yang pertama, karena yang diminta negasi p ), ( jika yang di minta negasi q maka lihat kolom kedua )
Kalau kolom yang ke lima, ke enam, dan ke tujuh itu di lihat sesuai perintah nya
Patokan nya adalah S S=S, yang lainnya tulis B atau Benar
KONJUNGSI : Pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”. Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.
Rumus beserta contoh :
Sama seperti Disjungsi tapi kalau konjungsi patokan nya adalah Benar Benar = Benar atau B B = B
IMPLIKASI : Bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan.
p ⟹ q
dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.
p q p⇒q
B B B
B S S
S B B
S S B
Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.
Contoh:
Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah
Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.
BIIMPLIKASI : Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”.
tabel kebenaran biimplikasi:
p q p⇔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:
Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja.
Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji.
DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN: p ∨ q ekuivalen dengan q ∨ p. (p ∨ q) ≡ (q ∨ p). Jadi, syarat dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen adalah jika kedua pernyataan majemuk tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama.
Rumus :
Contoh :
KALIMAT BERKUANTOR :
Rumus :
PENARIKAN KESIMPULAN :
Saya Mentari Dwi K. Hari ini saya akan membuat penjelasan dan contoh soal tentang Logika Matematika.
Penjelasan
Logika Matematika adalah gabungan dari ilmu matematika dan ilmu logika, Logika berasal dari kata Logos yang artinya hasil nalar tang diutarakan dalam kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika Matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Tahap logika antara lain adalah Pernyataan, Negasi, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi, Dua Pernyataan yang Ekuivalen, Kalimat Berkuantor, Serta Penarikan Kesimpulan.
Penjelasan dan Contoh Soal
PERNYATAAN : Kalimat yang memiliki nilai kebenaran hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak bisa sekaligus benar dan salah, biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti : a, b, c, dll.
Contoh :
a: 2 adalah bilangan genap ( Bernilai Benar )
b. 4 habis dibagi 3 ( Bernilai Salah )
Pernyataan benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B ( Benar )
Pernyataan salah dikatakan mempunai nilai kebenaran S ( Salah )
Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan Ï„ (Tao)
Contoh :
a : 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar
Ï„(a)=B
p : 5 lebih keci dari 4, merupakan pernyataan yang salah
Ï„(p)=S
NEGASI : Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p bernilai benar, maka ~ p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~ p bernilai benar. Negasi di lambangkan dengan (~).
Rumus :
Contoh :
1. Ani datang dan semua orang senang
Negasi : Ani tidak datang atau ada orang yang tidak senang
2. Jika Ela datang maka semua orang senang
Negasi : Ela datang dan ada orang yang tidak senang
3. Semua orang tertawa
Negasi : Ada orang yang tidak tertawa
4. Semua orang tidak tertawa
Negasi : Ada orang yang tertawa
5. Ada udang dibalik batu
Negasi : Semua udang tidak di balik batu
DISJUNGSI : Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”. Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Rumus beserta contoh :
Patokan nya adalah Salah dengan Salah = Salah Atau bisa di tulis S S=S
Contoh pada kolom baris ke 3
~ p bisa di sebut negasi p
cara mencari ~ p nya adalah lawan dari B = S ( lihat di kolom yang pertama, karena yang diminta negasi p ), ( jika yang di minta negasi q maka lihat kolom kedua )
Kalau kolom yang ke lima, ke enam, dan ke tujuh itu di lihat sesuai perintah nya
Patokan nya adalah S S=S, yang lainnya tulis B atau Benar
KONJUNGSI : Pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”. Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.
Rumus beserta contoh :
Sama seperti Disjungsi tapi kalau konjungsi patokan nya adalah Benar Benar = Benar atau B B = B
IMPLIKASI : Bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan.
p ⟹ q
dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.
p q p⇒q
B B B
B S S
S B B
S S B
Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.
Contoh:
Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah
Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.
BIIMPLIKASI : Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”.
tabel kebenaran biimplikasi:
p q p⇔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:
Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja.
Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji.
DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN: p ∨ q ekuivalen dengan q ∨ p. (p ∨ q) ≡ (q ∨ p). Jadi, syarat dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen adalah jika kedua pernyataan majemuk tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama.
Rumus :
Contoh :
KALIMAT BERKUANTOR :
Rumus :
PENARIKAN KESIMPULAN :
Komentar
Posting Komentar