Soal Trigonometri

Assalamualaikum. Saya Mentari, jadi hari ini saya ingin memberi soal dan jawaban tentang Trigonometri


1. 120° x  π/180 = 120° π/180 (Sederhanakan, keduanya dibagi 60)

                          = 2π/3

                          =2/3 π radians

 

2. 30° x  π/180 = 30° π/180 (Sederhanakan, keduanya dibagi 30)

                          = 1π/6

                          =1/6 π radians

 

3. Jika titik P (5,12), dan α adalah sudut yang dibentuk OP dengan sumbu x positif, tentukanlah nilai Sin α

Jawab : Titik P (5,12), maka absis = 5 dan ordinat = 12

r = √12.12+5.5

  = √169

  = 13

Sin α = b / r 

         = 12 / 13

 

4. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

Pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Perhatikan gambar terlampir.
Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]
AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]
AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]
AC² = 28.900 - 12.000
AC = √ 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

 

5. 

  

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi b = 8 cm, c = 5 cm dan besar sudut A = 60°. Maka, untuk menghitung panjang sisi A, kita akan gunakan aturan cosinus dari sudut A sebagai berikut.
Jawab:
a² = b² + c² - 2bc . Cos A
a² = 8² + 5² - 2.8.5. Cos 60°
a² = 64 + 25 - 80 . ½
a² = 89 - 40
a² = 49
a = √49
a = 7 cm

Jadi, panjang sisi A adalah 7 cm.

 

6. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki luas sebesar 6cm2. Jika panjang AB = 3cm dan BC = 4cm, tentukan besar ∠ABC!

Jawab :

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

6cm2 = ½ × 3cm × 4cm × Sin ∠ABC

6cm2 = 6cm2 × Sin ∠ABC

Sin ∠ABC = 1

ABC = arc sin (1)

ABC = 90o

Jadi, besar ∠ABC adalah 90o.

 

7.  Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …
Jawab  :
tan 30⁰ = \frac{x}{150}
\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{x}{150}
x = \frac{1}{3} \sqrt{3}  . 150 
x = 50√3  

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi
= 50√3 m + 120 cm
= 50√3 m + 1,2 m
= (50√3 + 1,2) m 

 

8.  Sin 30° + Cos 60° =
Jawab : 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1 

 

9. Sec 330° x Tan 120° x Sin 315° 

Jawab : 2/3√3  x (-√3) x (-1/2√2)

= -6/3 x -1/2√2 

=-2 x - 1/2√2 

= √2 

 

10. Jika cos β = -1/2 √3 dan sudut β terletak pada kuadran II, maka tan β =

Jawab : Jika  cos β = -1/2 √3 maka Tan Jika β = -1/3 ( Karena kuadran II maka nilai nya negatif )
Tan β = -1/√3 = -1/√3 x √3/√3=√3/3 = -1/3√3
√3

 

11. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q = Jawaban:
p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6

12. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C =  

Jawaban: 

Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :

cos A = 4/5, maka sin A = 3/5,  (ingat cosami, sindemi dan tandesa)
sin B = 12/13, maka cos  B = 5/13
A + B + C = 180°,  (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)
A + B = 180 – C
sin (A + B) = sin (180 – C)
sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, (ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)
sin C = sin A.cos B + cos A.sin B
sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13
sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65

13. A dan B titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB=45˚ ,Jika garis CB =p dan CA=2p√2 , maka panjang terowongan itu adalah…

Jawaban:
Aturan Cosinus
AB²=CB²+CA²-2CA.CB cos C
AB²=p²+(2p√2)²-2(p.2p√2) cos 45˚
AB²=p²+8p²-2(2p²√2)√2/2
AB²=9p²-√2(2p²√2)
AB²=9p²-4p²
AB²=5p²
AB=√5p²
AB=p√5

14. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm , besar sudut A=30˚ dan sudut C=120˚,Luas segitiga ABC adalah…

Jawaban:
Panjang CB
a/sinA = c/sinC
a/sin30˚=6/sin120˚
a/sin30˚=6/sin60˚
a/1/2=6/√3/2
a√3/2=3
a=2√3/3 x 3
a=2√3
Luas Segitiga
L=1/2 a x c sin30˚
L=1/2 x 2√3 x 6 x 1/2
L=1/4 x 12√3
L=3√3 cm²

15. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm, BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

Jawaban:
Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)
Cos A = 36+49-64/2(42)
Cos A=21/84

16. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:
a+b=10
a=10-b
Aturan Sinus
a/sin A = b/sin B
10-b/ sin 30 = b/sin 45
10-b/1/2= b/√2/2
√2/2(10-b)=b/2
(10√2-b√2)/2=b/2
5√2-b√2/2=b/2
5√2=b√2/2 + b/2
5√2=(b√2+b)/2
5√2=b(√2+1)/2
b=5√2 x 2/(√2+1)
b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
b=20-10√2
b=10(2-√2)

17.Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: sin x⁰ = sin 25⁰

sin x⁰ = sin 25⁰, maka diperoleh:

Jawaban:
x = 25⁰ + k.360⁰     atau     x   = (180⁰  ?  25⁰) + k.360⁰
= 155⁰ + k.360⁰
Jadi, x = 25⁰ + k.360⁰ atau 1550 + k.360⁰

18. Tentukan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: sin x⁰ = sin 50⁰

Jawaban:
sin x⁰ = sin50⁰, maka diperoleh:
x = 50⁰ + k.360⁰     atau     x   = (180⁰  ?  50⁰) + k.360⁰
= 130⁰ + k.360⁰
Jadi, x = 50⁰ + k.360⁰ atau 130⁰ + k.360⁰

19. Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°

jawab:
sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

20. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut ini: sin 2x⁰ = sin 40⁰, jika x dalam interval 0 ? x ? 360⁰

Jawaban:
sin 2x⁰ = sin 40⁰, maka diperoleh:
2x = 40⁰ + k.360⁰     atau     2x = (180⁰  ?  40⁰) + k.360⁰
» x = 20⁰ + k.360⁰                »   2x   = 140⁰ + k.360⁰
»   x     = 70⁰ + k.360⁰
untuk   k = 0 ? x = 20⁰     atau untuk    k = 0 ? x = 70⁰
k = 1 ? x = 200⁰                        k = 1 ? x = 250⁰
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {20⁰, 70⁰, 200⁰, 250⁰}